(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

Transcript

1 Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn στον άξονα x. Να βρείτε τελεστές Fˆ,,, οι οποίοι: (α) Να δρουν στον υπόχωρο στον οποίο ζει η κατάσταση () (β) Να σας επιτρέπουν να γράψετε τις πιθανότητες των διαφόρων ενδεχομένων ως: Tr ˆ F ˆ Απάντηση: Οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆx (με ιδιοτιμές,0 και αντίστοιχα ) είναι οι 0, και 0 Επομένως Tr () Επειδή στην κατάσταση δεν υπάρχει όρος είναι προφανές ότι στον υπολογισμό των () οι αντίστοιχοι όροι που υπάρχουν στις Έτσι οδηγούμαστε να γράψουμε: δεν θα μετέχουν. όπου 0,, 0, Οι πιθανότητες () γράφονται τώρα: Tr Tr ˆ Fˆ, Fˆ () Μπορείτε εύκολα να βρείτε τις πιθανότητες αυτές (οι οποίες προφανώς είναι οι ()) και να ελέγξετε ότι αθροίζονται στη μονάδα.

2 Το παράδειγμα αυτό προσφέρει μια πρώτη γνωριμία με τελεστές μέτρησης οι οποίοι, στο σύστημα στο οποίο εφαρμόζονται, δεν είναι προβολικοί τελεστές. Πράγματι όπως είναι προφανές από τα παραπάνω ˆ ˆ F F, Fˆ ˆ F, 4 Fˆ ˆ F 4 Εν τούτοις με καθέναν από τους τελεστές αυτούς είναι συνδεδεμένος ένας θετικός αριθμός ο οποίος εκφράζει πιθανότητα. Αυτό το είδαμε ρητά και στηρίζεται στο ότι οι τελεστές αυτοί είναι θετικά ορισμένοι Fˆ 0 και αθροίζονται στη μονάδα: Fˆ Iˆ Στη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάσαμε μπορούμε αμέσως να ελέγξουμε την τελευταία σχέση: F ˆ F ˆ F ˆ 0 0 Βλέπουμε ότι το άθροισμα των τριών τελεστών οδηγεί σε τελεστή ο οποίος είναι μονάδα στον υπόχωρο στον οποίο όλα τα ανύσματα είναι ορθογώνια προς το. Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις μπορεί κανείς να ξεφύγει από το συγκεκριμένο παράδειγμα και να προσπαθήσει να γενικεύσει: Έστω ότι ο χώρος, H, στον οποίο ορίζεται το σύστημα που μας ενδιαφέρει μπορεί να θεωρηθεί μέρος ενός μεγαλύτερου χώρου: H H H Όπως είδαμε σε προηγούμενη άσκηση αυτό πάντα μπορεί να γίνει αφού πάντα μπορούμε να γράψουμε τα ανύσματα του H :, H, H Να σημειωθεί εδώ ότι το σύστημα στον H μπορεί να μην είναι, όχι κατ' ανάγκη τουλάχιστον, σε μια καθαρή κατάσταση. Εν γένει, περιγράφεται από ένα τελεστή πυκνότητας ˆ. Έστω τώρα ότι μετράμε κάποιο φυσικό μέγεθος M το οποίο αφορά στον "σύνθετο" χώρο H. Η μέτρηση αυτή γίνεται μέσω κάποιων προβολικών τελεστών Eˆ ( όπου οι ιδιοκαταστάσεις του M : Mˆ )

3 Η πιθανότητα να βρούμε το ένα ή το άλλο αποτέλεσμα (: κάποια από τις ιδιοτιμές του Tr ˆ E ˆ. Οι καταστάσεις οι οποίες υπό μέτρηση φυσικού μεγέθους) είναι: "ζούνε" στον χώρο H δεν μπορούν να "δουν" πλήρως τους προβολικούς τελεστές E ˆ : εάν γράψουμε ο τελεστής ˆ μπορεί να διαβάσει μόνο το μέρος εκείνο το οποίο αφορά στον χώρο Επομένως: H. Tr ˆ Tr ˆ Fˆ Προφανώς οι αυτοσυζυγείς τελεστές F ˆ είναι θετικά ορισμένοι και αθροίζονται στη μονάδα: Αφού τα ανύσματα Tr ˆ Tr ˆ Fˆ Fˆ Iˆ a είναι κανονικοποιημένα, τα δεν είναι και επομένως ˆ F Fˆ Μια τέτοια ομάδα τελεστών συγκροτεί αυτό που είναι γνωστό ως postve operator - valed measre -POVM. Το ενδιαφέρον τους είναι στο γεγονός ότι γενικεύουν την έννοια των μετρήσεων που μπορούμε να κάνουμε σε κάποιο σύστημα. Παράδειγμα. (Θεώρημα Nemark) Η κατάσταση ενός σωματίου σε ένα χώρο Hlbert κάποιον γνωστό τελεστή πυκνότητας ˆ. Έστω οι τελεστές H δύο διαστάσεων περιγράφεται από Fˆ, Fˆ, Fˆ () όπου / / 0,, / 0 / 0 / () Εύκολα μπορείτε να ελέγξετε ότι οι τελεστές αυτοί συγκροτούν ένα POVM. Οι θετικοί Tr ˆ F ˆ αθροίζονται στη μονάδα και μπορούν να ερμηνευθούν ως αριθμοί πιθανότητες. Για να απαντήσετε στο ερώτημα "πιθανότητα να συμβεί τι;" να ορίσετε ένα χώρο Hlbert τριών (τουλάχιστον) διαστάσεων στον οποίο αν μετρήσετε ένα φυσικό

4 μέγεθος να οδηγηθείτε σε αποτελέσματα των οποίων οι πιθανότητες πραγματοποίησης να είναι ακριβώς οι. Ποιό μπορεί να είναι το μέγεθος αυτό; Απάντηση: Αμέσως μπορούμε να δούμε ότι ˆ 0 0 I () Η ισότητα αυτή μας λέει ότι τα μη κανονικοποιημένα ανύσματα () αθροίζονται σε τελεστή ο οποίος δρα ως μοναδιαίος στον χώρο H. Η σκέψη τώρα είναι να θεωρήσουμε τον H ως μέρος ενός μεγαλύτερου χώρου H η διάσταση του οποίου να είναι ίση (ή μεγαλύτερη) με το πλήθος των. Όσα ανύσματα του χώρου αυτού δεν ανήκουν στον H, θα τα διαλέξουμε να είναι κάθετα σ' αυτά του H. Θα κατασκευάσουμε, δηλαδή, τον χώρο H H H. Η προσπάθειά μας είναι, επομένως, να ξεκινήσουμε από τα ανύσματα, και να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση στον μεγαλύτερο χώρο. Αν το πετύχουμε, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα ανύσματα,, αυτής της βάσης είναι τα ιδιοανύσματα ενός αυτοσυζυγούς τελεστή ο οποίος αντιπροσωπεύει το συγκεκριμένο φυσικό μέγεθος που ψάχνουμε. Το πρόβλημα μπορούμε να το λύσουμε σχετικά εύκολα. Γράφουμε / / /, 0 a a / / a και προσπαθούμε να διαλέξουμε τους αριθμούς a έτσι ώστε τα ανύσματα (4) να απαρτίζουν ένα ορθοκανονικό σύνολο ανυσμάτων. Λίγη άλγεβρα θα σας πείσει ότι μπορείτε να διαλέξετε a /, a /, a / (5) Έστω ˆM το φυσικό μέγεθος του οποίου ιδιοκαταστάσεις είναι τα (4) (αν ρίξετε μια ματιά στο πρώτο παράδειγμα θα διαπιστώσετε ότι είναι ο S ˆx ). Οι προβολικοί τελεστές οι οποίοι ποσοτικοποιούν την μέτρησή του είναι οι E ˆ και οι πιθανότητες των διαφόρων ενδεχομένων θα είναι Tr ˆ ˆ E. Το σύστημά μας, όμως, το οποίο είναι περιορισμένο στο χώρο H, δεν μπορεί να "ξεχωρίσει" τα ανύσματα και παρατηρητή ο οποίος είναι περιορισμένος σ' αυτό τον χώρο: ˆ ˆ ˆ ˆ Tr E Tr F. Επομένως για τον (4) 4

5 Άσκηση. Η κατάσταση ενός σωματίου σε ένα χώρο Hlbert κάποιον γνωστό τελεστή πυκνότητας ˆ. Έστω οι τελεστές H δύο διαστάσεων περιγράφεται από Fˆ, Fˆ, Fˆ () όπου 0 0, 6 0 () 6, Αφού ελέγξετε κατά πόσο είναι ένα POVM να ορίσετε ένα χώρο Hlbert τριών (τουλάχιστον) διαστάσεων στον οποίο αν μετρήσετε ένα φυσικό μέγεθος (αν κάνετε, δηλαδή, ορθογώνιες μετρήσεις) να οδηγηθείτε σε αποτελέσματα οι πιθανότητες των ˆ Tr ˆ Fˆ,,,. οποίων να είναι Ποιό μπορεί να είναι το μέγεθος αυτό; Υπόδειξη: Δουλέψτε με βάση το παράδειγμα. Για να βρείτε το φυσικό μέγεθος το οποίο θα μπορούσατε να μετρήσετε στο σύνθετο σύστημα, σκεφτείτε ότι ο τρισδιάστατος χώρος Hlbert θα μπορούσε να είναι αυτός που οικοδομείται από τις ιδιοκαταστάσεις ενός σωματίου με spn. Θεωρήστε την προβολή του spn σε μια τυχαία διεύθυνση : nx ny nz 0 ˆ nx ny nx ny n S 0 nx ny 0 nz και διαλέξτε τα nx, ny, n z έτσι ώστε τα ανύσματα που θα προκύψουν από την επέκταση των () να είναι ιδιοανύσματα του συγκεκριμένου φυσικού μεγέθους. Άσκηση. Έστω ότι στο σύστημα της προηγούμενης άσκησης γνωρίζετε ότι έγιναν οι μετρήσεις που εκφράζονται από τους τελεστές () αλλά δεν ξέρετε ποιό ακριβώς αποτέλεσμα προέκυψε. Πως θα περιγράψετε το σύστημά σας; Υπόδειξη: Για να απαντήσετε στο ερώτημα θα πρέπει να έχετε στο μυαλό σας τι συμβαίνει όταν κάνουμε μη-ορθογώνιες μετρήσεις σε κάποιο σύστημα : Ο αριθμός που θα βρούμε μετά από μια τέτοια μέτρηση θα είναι μια ιδιοτιμή αλλά μια ιδιοτιμή που σχετίζεται με φυσικό 5

6 μέγεθος M το οποίο δεν ορίζεται στο συγκεκριμένο σύστημα στο οποίο κάνουμε τη μέτρηση αλλά σε ένα σύνθετο σύστημα, τμήμα του οποίου είναι το σύστημα. Μετά τη μέτρηση στο σύνθετο σύστημα, η κατάσταση του θα είναι κάποια από τις (κανονικοποιημένες) ιδιοκαταστάσεις του μεγέθους M. Στο σύστημα όμως μπορούμε να "διαβάσουμε" μόνο το μέρος της εν λόγω ιδιοκατάστασης το οποίο, προφανώς, δεν είναι κανονικοποιημένο. Αν γράψουμε όπου βρίσκουμε την (κανονικοποιημένη) κατάσταση στην οποία θα βρεθεί το σύστημα μετά τη (μη ορθογώνια) μέτρηση. Για τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης: /, 0 ; /, 0 ; /, 0 Επομένως, μετά την εφαρμογή του τελεστή F ˆ η κατάσταση ˆ θα οδηγηθεί, με Tr ˆ Fˆ στην κατάσταση. Εφόσον είναι γνωστό ότι έγιναν οι πιθανότητα μετρήσεις αλλά δεν ξέρετε ποιό ακριβώς αποτέλεσμα προέκυψε το μόνο που μπορείτε να πείτε είναι ότι το σύστημά σας περιγράφεται από τον τελεστή πυκνότητας ˆ ˆ a b a b ab Fˆ ˆ ˆ F a b ab a b Άσκηση. a Έστω οι καταστάσεις a, 0, b 0 c οι οποίες είναι στοιχεία ενός χώρου Hlbert διαστάσεων H. Ο αριθμός a είναι πραγματικός και διάφορος της μονάδας. Να προσδιορίσετε τους συντελεστές a, b, c έτσι ώστε οι τελεστές Fˆ,,, να συγκροτούν ένα POVM. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε τις ιδιότητες του POVM για να βρείτε ότι / a b c /4,, / 6

7 Άσκηση 4. Θεωρείστε χώρο Hlbert διαστάσεων H H H. Στο χώρο αυτό να ορίσετε μια βάση,,, όπου Hτα ανύσματα της προηγούμενης άσκησης. Βρείτε ποιό μέγεθος του σύνθετου συστήματος μπορείτε να μετρήσετε μέσω των προβολικών τελεστών Eˆ,,, έτσι ώστε: Παράδειγμα. ˆ ˆ ˆ ˆ Tr E Tr F, ˆ, Fˆ ( Το παράδειγμα έχει ως στόχο να δείξει τις δυνατότητες που μπορούν να έχουν οι μη ορθογώνιες μετρήσεις) Έστω ότι στην κατοχή σας έχετε μια από τις καταστάσεις z 0 και x 0 αλλά δεν ξέρετε ποιά ακριβώς. Σας είναι γνωστό ότι δεν μπορείτε μέσω μιας και μόνο μέτρησης να βρείτε ποιά είναι η κατάσταση που έχετε στα χέρια σας αλλά σκέφτεστε να κάνετε το εξής: Να χρησιμοποιήσετε τους τελεστές F ˆ,,, της άσκησης και να κάνετε μη ορθογώνιες μετρήσεις. Αυτό θα σας επιτρέψει αφενός μεν να μην κάνετε ποτέ λάθος ταυτοποίηση και αφετέρου να έχετε αυξημένη πιθανότητα (>/) να κάνετε σωστή εκτίμηση. Πώς γίνεται αυτό; Καταρχήν φτιάχνετε (ας μη συζητήσουμε πώς) ένα μεγαλύτερο σύστημα στο οποίο ορίζετε το κατάλληλο φυσικό μέγεθος (δείτε την προηγούμενη άσκηση) του οποίου η μέτρηση επάγει τη μη ορθογώνια μέτρηση που θέλετε να κάνετε στο σύστημα που σας ενδιαφέρει. Αν η μέτρηση σας δώσει την απάντηση ξέρετε ότι στην κατοχή σας έχετε την κατάσταση Tr ˆ Fˆ 0. Αν η μέτρηση σας δώσει το αποτέλεσμα τότε αφού στα χέρια σας έχετε την κατάσταση αφού ˆ αποτέλεσμα δεν μπορείτε να αποφασίσετε. Άσκηση 5. Tr ˆ F 0. Αν πάρετε το Η κατάσταση ενός σύνθετου συστήματος έχει την παραγοντοποιημένη μορφή ˆ ˆ ˆ. Έστω ότι μετράτε κάποιο φυσικό μέγεθος το οποίο αναφέρεται στο σύνθετο σύστημα και έστω Eˆa a a οι προβολικοί τελεστές που συνδέονται με τις ιδιοκαταστάσεις του εν λόγω μεγέθους. Δείξτε ότι η πιθανότητα να προκύψει το ένα ή το άλλο αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί: Δείξτε ότι : F ένα POVM. a Tr E ˆ ˆ Tr F ˆ ˆ όπου F ˆ ˆ ˆ a Tr Ea a a, Fˆ a 0, Fˆ ˆ a I και επομένως ότι οι τελεστές αυτοί ˆ ˆ a Fa Υπόδειξη: Να ακολουθήσετε τα βήματα στις σημειώσεις του J. eskll a 7

8 Άσκηση 6. Η κατάσταση ενός συστήματος είναι: z x. Έστω ότι μετράτε το μέτρο του σύνθετου μεγέθους S ˆ S ˆ Iˆ Iˆ S ˆ. Να βρείτε την πιθανότητα των διαφόρων ενδεχομένων και να προσδιορίσετε ένα σύνολο τελεστών F ˆ οι οποίοι να αναφέρονται στο σωμάτιο και με τη βοήθεια των οποίων οι πιθανότητες να διαβάζονται από τη σχέση: Υπόδειξη: ˆ ˆ Tr F Fˆ z z Μπορείτε, καταρχήν, να κάνετε τον υπολογισμό Tr ˆ Eˆ Οι προβολικοί τελεστές που χρειάζεστε είναι οι Eˆ,,,,4 όπου 0,0 zz z z,,,0 zz z z, 4, Έτσι θα βρείτε / 4 z z z z, /, / 4 και 4 0. Ακολουθώντας το συμπέρασμα της προηγούμενης άσκησης μπορείτε να βρείτε τους τελεστές Fˆ, Fˆ, Fˆ, Fˆ οι οποίοι απαντούν το πρόβλημά σας. x x z z x x 4 z z Δείξτε ότι οι τελεστές αυτοί είναι αυτοσυζυγείς, θετικά ορισμένοι και αθροίζονται στη μονάδα. Είναι δηλαδή ένα POVM με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε να ορίσουμε μη ορθογώνιες μετρήσεις. Άσκηση 7. Να επαναλάβετε την προηγούμενη άσκηση στη γενική περίπτωση: όπου a z b z και c z d z 8

9 Άσκηση 8. Έστω ότι στη διάθεσή σας έχετε την κατάσταση z και την τετράδα τελεστών F ˆ της άσκησης 6. Οι τελεστές αυτοί σας επιτρέπουν να κάνετε μη ορθογώνιες μετρήσεις και να βρείτε εύκολα τις πιθανότητες των διαφόρων ενδεχομένων: Tr ˆ Fˆ Fˆ () z z Το ερώτημα είναι τώρα: Μπορείτε να διαλέξετε ένα χώρο Hlbert H και ένα φυσικό μέγεθος που να ορίζεται στον H H του, στην κατάσταση οποίων να είναι ακριβώς οι (); Υπόδειξη: H, κάποια κατάσταση τέτοιο ώστε η μέτρησή, να οδηγεί σε ενδεχόμενα οι πιθανότητες των Εφόσον έχετε 4 τελεστές στη διάθεσή σας μπορείτε να σκεφτείτε ότι χρειάζεστε έναν βοηθητικό χώρο H διαστάσεων έτσι ώστε ο σύνθετος χώρος H Hνα είναι 4 διαστάσεων. Ένα καλό μέγεθος για μέτρηση στο χώρο αυτόν είναι το μέτρο του συνολικού spn. Οι προβολικοί τελεστές που αντιστοιχούν στο μέγεθος αυτό είναι αυτοί που συναντήσαμε στην άσκηση 6: Eˆ,,,,4. Αυτό που θέλουμε είναι να ισχύει ότι ˆ Fˆ Tr Eˆ Eˆ. Στην εξίσωση αυτή ο μόνος άγνωστος είναι η κατάσταση a z b z. Έχετε αρκετές πληροφορίες για να την προσδιορίσετε. Άσκηση 9. Να επαναλάβετε την προηγούμενη άσκηση για την περίπτωση στην οποία η αρχική σας κατάσταση είναι η a z b z Άσκηση 0. P P P Έστω ότι στη διάθεσή σας έχετε την κατάσταση ˆ, P P P P και την τετράδα τελεστών F ˆ της άσκησης 6. Οι τελεστές αυτοί σας επιτρέπουν να κάνετε μη ορθογώνιες μετρήσεις και να βρείτε εύκολα τις πιθανότητες των διαφόρων ενδεχομένων: Tr ˆ Fˆ () Το ερώτημα είναι τώρα: Μπορείτε να διαλέξετε ένα χώρο Hlbert H, κάποιον τελεστή πυκνότητας ˆ H και ένα φυσικό μέγεθος που να ορίζεται στον H H τέτοιο ώστε η μέτρησή του να οδηγεί σε ενδεχόμενα οι πιθανότητες των οποίων να ταυτίζονται με τις (); 9

10 Παράδειγμα 4. (J. eskll). Το παράδειγμα αφορά, στην ουσία του, σε μια τεχνική η οποία μπορεί να γενικεύσει τους υπολογισμούς οι οποίοι έγιναν στις δύο προηγούμενες ασκήσεις και στηρίζεται στο θεώρημα Nemark. Θα παραμείνουμε, για απλότητα, στην περίπτωση όπου ο χώρος Hlbert H είναι διαστάσεων και το POVM συγκροτείται από 4 τελεστές. Ξεκινάει κανείς από τα μη κανονικοποιημένα ανύσματα του τελεστές F ˆ. Στην περίπτωση της άσκησης 6 αυτά είναι: H τα οποία συγκροτούν τους x z z / /, x z z / /, 4 / z 0 0 z / () Αυτό που προσπαθεί να κάνει κάποιος είναι να κατασκευάσει στον σύνθετο χώρο H H μια βάση η οποία να συνδέεται με τα παραπάνω ανύσματα. Για να το κάνει αυτό χρησιμοποιεί κάποια βάση του H (έστω, 0, ) και γράφει: 0 () Στην έκφραση αυτή τα άγνωστα ανύσματα θα τα επιλέξουμε έτσι ώστε 0 και j j () Η τελευταία από τις σχέσεις () δίνει: j j j (4) Το πρόβλημα προσδιορισμού των πάντα μπορεί να λυθεί. a Ας πάρουμε το παράδειγμα των () και ας γράψουμε. Πρέπει τώρα να b προσδιορίσουμε 8 μιγαδικούς αριθμούς, να βρούμε, δηλαδή 6 αγνώστους. Στη διάθεσή μας έχουμε τις 4 σχέσεις ορθογωνιότητας, 0, τις 4 εξισώσεις που προκύπτουν από τις εξ.(4) για j : (5) και τις 6 εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν, και πάλι από τις εξ. (4) για j : j (6) j j 0

11 Έχουμε, δηλαδή, περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις και επομένως μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημά μας (μπορούμε να βρούμε περισσότερες από μία λύσεις): Στην περίπτωση που εξετάζουμε από τις σχέσεις ορθογωνιότητας θα πάρουμε: Από τις εξ. (5) θα βρούμε: a b, a 0, a b, b 0 (7) 4 a /, b /, a /, a / (8) 4 Αν χρησιμοποιήσουμε και τις /, 4 /, μπορούμε να βρούμε ότι: /, 4 / (9) 0 / / /,,, 4 / / / 0 (0) Γυρίζοντας πίσω στις εξ. () και αντικαθιστώντας τις εξ.(0) βρίσκουμε: x 0 x z 0 z x 0 x () 4 z 0 z Για να γίνει κατανοητός ο λόγος της κατασκευής που ακολουθήσαμε μπορούμε να σκεφτούμε ότι (α) Υπάρχει φυσικό μέγεθος οι ιδιοκαταστάσεις του οποίου είναι τα ανύσματα (). Η μέτρηση του μεγέθους αυτού, το οποίο ορίζεται στον σύνθετο χώρο, γίνεται μέσω προβολικών τελεστών E ˆ. (β)έχοντας στη διάθεσή μας την κατάσταση μπορούμε να τη φέρουμε σε επαφή με την κατάσταση 0 του βοηθητικού συστήματος και να φτιάξουμε τη σύνθετη κατάσταση 0. Αμέσως διαπιστώνουμε ότι έτσι πετύχαμε αυτό που θέλαμε: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 Tr ˆ ˆ F Tr E Tr Tr E Tr E ()

12